手里的咖啡都凉了，算了算了，想想还是把微积分和统计这点事儿说完吧，刚才有个学生微信问我parametric equations求面积到底该怎么转，这破问题我2018年第一次教的时候自己也栽过跟头

参数方程求面积，你以为代公式就完了

不是我说，你们拿到题目是不是就想着x=f(t), y=g(t)，然后面积等于∫ y dx，再把dx换成f'(t)dt，看起来很简单对吧，我第一个学员就是这么想的，结果2019年那会儿他模考直接扣了8分，为什么，因为t的上下限没对应x的上下限啊，题目给的是x从0到2，他t就直接代题目给的0和2，完全没发现x=2时t其实是π/2

（手机震了，我回个消息，马上回来）

刚才说到哪了，哦对，上下限问题，这事我后来总结了个笨办法，每次算之前先在草稿纸上列个表，把t、x、y的值对应写出来，虽然多花一分钟，但再也没错过，你搜Alevel数学难点解析：高效攻克微积分与统计核心考点会看到很多高级技巧，但我的经验是，基础步骤踏踏实实做完比啥都强

分部积分选u和dv，选错全盘皆输

说到这个我想起2020年那个学员，特别聪明一孩子，就是爱跳步，做∫ x^2 e^x dx，他非要把x^2当u，e^x dx当dv，算了三行发现越来越复杂，卷面涂得乱七八糟，其实这种时候就该用LIATE法则，对数函数、反三角函数、代数函数、三角函数、指数函数，按这个顺序选u，不对，我刚才说错了，应该是LIPET，反了反了，年纪大了记混了，反正就是优先选求导后变简单的当u

对了，有个小工具特别好用，symbolab网站，你把题目输进去它会显示分部积分的每一步，不是让你抄答案，是让你看它怎么选u和dv的，看多了就有感觉了

统计里的条件概率，画不出Venn图就完蛋

（说到这个，我想起2019年那个夏天，有个学生哭着给我打电话说统计卷子最后一道大题全空，就是栽在条件概率上）

真的，P(A|B)和P(B|A)搞混的人太多了，我当年第一次考也在这里翻车，题目说“已知检测呈阳性，求实际患病的概率”，这是典型的P(患病|阳性)，但很多人算成P(阳性|患病)，这两个差远了，因为患病率本来就很低，哪怕检测准确率高，阳性里也有很多是假阳性

我后来教学生一定要画两遍图，第一遍画理想情况下的Venn图，第二遍把题目给的条件标上去，标的时候嘴里默念“已知...发生，求...的概率”，这个方法虽然笨，但管用

微分方程的特解通解，边界条件不是摆设

这个错误我犯了三次，每次都是差点满分变刚及格，第一次是dy/dx = 3x^2，我解出y=x^3+C，然后题目说曲线过点(2,1)，我代进去1=8+C，解出C=-7，到这里都对，但最后写答案我居然写成y=x^3-7x，多写了个x，阅卷老师直接扣完

第二次更冤，解二阶微分方程，特征根是复数，我写通解y=e^{αx}(C1 cos βx + C2 sin βx)，边界条件y(0)=1, y'(0)=2，我算C1和C2算对了，但最后答案没写y=，直接写了表达式，又扣分

所以现在我都跟学生说，解微分方程就像做菜，通解是备料，特解是下锅，边界条件是火候，少一步都不行，你搜Alevel数学难点解析：高效攻克微积分与统计核心考点肯定也会强调这个

正态分布标准化，记错公式等于白算

Z=(X-μ)/σ，这么简单的公式，我见过有人考试时写成Z=(μ-X)/σ，还有人标准差σ和方差σ^2用混，统计卷子计算题一步错步步错，15分的大题最多给你1分同情分

我有个学生更离谱，知道用Z值，也会查表，但查的是P(Zz)，他直接用1减，这本来是对的，但题目z是负数啊，他忘了正态分布对称性，应该用P(Z<|z|)来算，不对，我刚才说错了，负数情况要小心，应该是P(Z>z) = 1 - P(Z<z)，但z为负时P(Z<z)小于0.5，这个细节很多人在考场上想不起来

（手机又震了，等我看下，又是那个问参数方程的学生，他说懂了懂了）

假设检验的结论怎么写，不是“接受H0”

这是考官最喜欢抓的点，你做了一堆计算，最后写“therefore we accept H0”，直接扣分，正确说法是“there is insufficient evidence to reject H0”或者“do not reject H0”，因为假设检验的逻辑是反证法，只能拒绝或不拒绝，不能说接受

我2017年带的一个学员就是在这里吃了亏，他所有计算全对，最后结论写错，5分题只拿3分，关键这还不是他一个人，每年都有大批学生倒在这个表述上

对了，突然想起来，你们用计算器的时候一定要小心，按假设检验功能时它可能默认是双尾检验，但题目往往是单尾，这个设置要调，不然临界值全错

积分求体积旋转轴，画图、画图、画图

绕y轴旋转的体积公式是V=π∫ x^2 dy，但很多人记成V=π∫ y^2 dx，然后就开始闷头算，算出来数字怪怪的也不知道检查，其实只要画个草图，标出旋转轴，再标出典型薄片（disc或washer），马上就知道该用哪个公式

我有个tql的学生，脑子转得快，不爱画图，结果有一次题目是曲线绕x=3旋转，他直接套公式，完全没注意到旋转轴不是坐标轴，需要用壳层法（shell method），或者平移坐标轴，那次教训之后他终于肯画图了

统计抽样分布，n和n-1到底用哪个

样本方差的分母是n-1，总体方差分母是n，这个大家都知道，但考试紧张时很容易搞混，特别是题目一会儿给样本数据一会儿给总体参数，切换的时候脑子一乱就写错

我当年的笨办法是，看到variance就立马在旁边写个小字注释：sample? population? 虽然答题卡上不能写，但草稿纸上这么干能救命，还有，卡方分布、t分布的自由度，这些都是扣分重灾区，t分布自由度n-1，卡方分布要看情况

好了，你现在就打开最近做错的一道微积分大题，把完整解题步骤包括“设...”、“因为...”、“所以...”、“验证...”这些文字说明全部补上，别光列式子，就现在，五分钟就能发现自己的漏洞

---

问：文章里说的参数方程面积问题，到底该怎么做？ 答：我刚才不是说了嘛，要对应x和t的上下限，你再看一遍第三段，我连2019年学员怎么错的都写出来了

问：假设检验结论到底能不能说“接受H0”？ 答：哎呦我去，你这问题问得我头疼，倒数第四段白写了是吧，只能说“不拒绝”，说“接受”就扣分，这分丢得多冤

尊重原创文章，转载请注明出处与链接:https://www.aixue365.com/school-22/document-id-5603.html，违者必究!